Elusive 'Einstein' resolve um problema de matemática de longa data

E tudo começou com um hobby "brincando e experimentando formas".

Um "monótilo aperiódico", ou einstein, é uma forma que ladrilha uma superfície plana infinita em um padrão não repetitivo. Os autores de um novo artigo chamaram seu einstein de "o chapéu", pois ele se assemelha a um fedora.Crédito...Craig Kaplan

Apoiado por

Envie uma história a qualquer amigo

Como assinante, você tem 10 artigos de presente para dar a cada mês. Qualquer um pode ler o que você compartilha.

Por Siobhan Roberts

Em novembro passado, após uma década de tentativas fracassadas, David Smith, um autodenominado entusiasta de formas de Bridlington em East Yorkshire, Inglaterra, suspeitou que poderia ter finalmente resolvido um problema em aberto na matemática do ladrilho: isto é, ele pensou que poderia descobriram um "einstein".

Em termos menos poéticos, um einstein é um "monótilo aperiódico", uma forma que ladrilha um plano ou uma superfície plana bidimensional infinita, mas apenas em um padrão não repetitivo. (O termo "einstein" vem do alemão "ein stein" ou "uma pedra" - mais vagamente, "um ladrilho" ou "uma forma".) Seu papel de parede típico ou piso de ladrilhos faz parte de um padrão infinito que se repete periodicamente ; quando deslocado, ou "traduzido", o padrão pode ser exatamente sobreposto a si mesmo. Um ladrilho aperiódico não exibe tal "simetria translacional", e os matemáticos há muito buscam uma única forma que possa ladrilhar o plano dessa maneira. Isso é conhecido como o problema de einstein.

"Estou sempre brincando e experimentando formas", disse Smith, 64, que trabalhou como técnico de impressão, entre outros empregos, e se aposentou cedo. Embora gostasse de matemática no ensino médio, ele não se destacava nela, disse ele. Mas há muito ele está "obsessivamente intrigado" com o problema de Einstein.

E agora um novo artigo - do Sr. Smith e três co-autores com experiência matemática e computacional - prova que a descoberta do Sr. Smith é verdadeira. Os pesquisadores chamaram seu einstein de "o chapéu", pois se assemelha a um fedora. (Sr. Smith costuma usar uma bandana amarrada na cabeça.) O artigo ainda não foi revisado por pares.

"Esta parece ser uma descoberta notável!" Joshua Socolar, um físico da Duke University que leu uma cópia inicial do artigo fornecida pelo The New York Times, em um e-mail. "O aspecto mais significativo para mim é que o ladrilho não se enquadra claramente em nenhuma das classes familiares de estruturas que entendemos."

"O resultado matemático levanta algumas questões interessantes de física", acrescentou. “Pode-se imaginar encontrar ou fabricar um material com esse tipo de estrutura interna”. O Dr. Socolar e Joan Taylor, um pesquisador independente em Burnie, Tasmânia, encontraram anteriormente um monótolo hexagonal feito de peças desconectadas, o que, segundo alguns, ultrapassava as regras. (Eles também encontraram uma versão 3D conectada do ladrilho Socolar-Taylor.)

Inicialmente, as atividades de ladrilhos matemáticos foram motivadas por uma questão ampla: havia um conjunto de formas que poderia ladrilhar o plano apenas de forma não periódica? Em 1961, o matemático Hao Wang conjecturou que tais conjuntos eram impossíveis, mas seu aluno Robert Berger logo provou que a conjectura estava errada. O Dr. Berger descobriu um conjunto aperiódico de 20.426 ladrilhos e, posteriormente, um conjunto de 104.

Então o jogo se tornou: quantas peças resolveriam? Na década de 1970, Sir Roger Penrose, um físico matemático da Universidade de Oxford que ganhou o Prêmio Nobel de Física de 2020 por sua pesquisa sobre buracos negros, reduziu o número para dois.

Outros, desde então, encontraram formas para duas peças. "Tenho um ou dois pares meus", disse Chaim Goodman-Strauss, outro dos autores do artigo, professor da Universidade de Arkansas, que também detém o título de matemático de divulgação no Museu Nacional de Matemática de Nova York.

Ele observou que os quadrados pretos e brancos também podem criar estranhos padrões não periódicos, além do conhecido padrão quadriculado periódico. "É realmente muito trivial ser capaz de fazer padrões estranhos e interessantes", disse ele. A mágica das duas peças de Penrose é que elas criam apenas padrões não periódicos - isso é tudo o que podem fazer.